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機械力学

弦楽器の音の高さを変える方法は?【機械力学的解説】

皆さんは弦楽器を演奏したことはありますか。

弦を弾くことによって様々な音が出せますよね。

ところで音の高さはどのように変えているのでしょうか。

今回は弦楽器の音の高さについて、機械力学的に解説していきたいと思います。

音の高さとは?

まず音が高いとはどういうことなのでしょうか。

高い音は、周波数が高いということを表しています。

ここで周波数とは、1秒間に何回振動するかを表した値です。

また周波数は、以下の関係式があります。

数式

$f=\dfrac{ω}{2π}$

$f$:周波数[$Hz$]

$ω$:角速度[$/s$]

このため周波数の高い音を出すためには、角振動数を大きくすることが必要になります

弦の運動は?

次に弦の運動について考えていきます。

弦の一次元の運動方程式は、以下の式によって表されます。

数式

$ρ\dfrac{∂^2u}{∂t^2}-T_0\dfrac{∂^2u}{∂x^2}=0$

$ρ$:弦の線密度[$kg/m$]

$T_0$:弦の張力[$N$]

$u$:弦の変位[$m$]

この式は波動方程式と呼ばれることもあります。

今回は弦の長さを$l$[$m$]、両端固定の自由振動とすると、一般解は以下のようになります。

数式

$u(x,t)=C・sin(\dfrac{nπ}{l}x)・(A・cos(\dfrac{nπ}{l}\sqrt{\dfrac{T_0}{ρ}}t)+B・sin(\dfrac{nπ}{l}\sqrt{\dfrac{T_0}{ρ}}t)$

$A,B,C$:初期条件によって決まる定数

$n=1,2,3・・・$

少し複雑な式になってしまいましたが、今回必要な角振動数はcosの( )の中になります。

角振動数を$ω_n$とすると、以下の式になります。

数式

$ω_n=\dfrac{nπ}{l}\sqrt{\dfrac{T_0}{ρ}}$

ここで角振動数はnの値の数だけ存在することになるため、理論上は無限個存在することになります。

弦の振動

実際に弦の運動はどのようになるのでしょうか。

値の大きさは各定数によって異なりますが、以下のようになります。

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振動のイメージ

nの値が大きくなるほど波長$λ$の大きさが小さくなります。

音を高くする方法

では、方程式の解から音を高くする方法を考えていきます。

音を1オクターブ高くすると仮定すると、振動数を2倍にすることになります。

角振動数から考えると、方法は3つ存在します。

弦の長さを短くする

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まず角振動数は弦の長さlに反比例しているので、弦を短くすれば音は高くなります

具体的には、弦の長さを半分にすれば音を1オクターブ高くできます。

実際の例で考えてみると、バイオリンの大きさと音の高さの関係が挙げられます。

人の手で楽に持ち上げられる、全長60cm程度のバイオリンであれば、高い音を出すことができます。

逆に全長が2m近くあるコントラバスだったら、同じ音でも低くなります。

弦の張力を大きくする

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次に弦の張力T_0ですが、角振動数と張力は1/2乗で比例関係にあるので、張力を大きくすれば音を高くできます

実例としては、ギターのチューニングが挙げられます。

弦を固定している部分の張力を大きくすることで、音を高くすることができます。

ちなみに音を1オクターブ高くしているということは、張力を現状の4倍大きくしていることになります。

弦の線密度を小さくする

3つ目の方法は弦の線密度を小さくすることが挙げられます。

弦自体を軽い材料に変更することで、音を高くすることが可能です

具体的には、線密度を1/4にすることで、1オクターブ音を高くすることが可能です。

まとめ

いかがだったでしょうか。

今回は弦楽器の音の高さについて解説していきました。

まとめると以下のようになります。

まとめ
  • 音を高くするということは、振動数を大きくすることを表している
  • 弦の角振動数は、計算上無限に存在している
  • 音を高くする方法は、弦の長さ、張力、線密度の3種類を変える方法が考えられる
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